MathLabs

第6問

任意の実数 x1x_1 に対して、xn+1=xn(xn+1n)x_{n+1}=x_n\left(x_n+\frac1n\right) により数列を定める。すべての nn について 0<xn<xn+1<10<x_n<x_{n+1}<1 となる x1x_1 がただ一つ存在することを証明せよ。
ステップ 1/5: 漸化式を反復写像として表す
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

一つの初期値を何段も追う代わりに、最初の nn 回の更新を一つの増加曲線 SnS_n にまとめる。

S0(t)=t,Sn(t)=Sn−1(t)(Sn−1(t)+1n)S_0(t)=t,\qquad S_n(t)=S_{n-1}(t)\left(S_{n-1}(t)+\frac1n\right)
詳しい解説

S0(t)=tS_0(t)=t とおき、Sn(t)=Sn−1(t)(Sn−1(t)+1/n)S_n(t)=S_{n-1}(t)(S_{n-1}(t)+1/n) と帰納的に定める。すると xn+1=Sn(x1)x_{n+1}=S_n(x_1) である。各 SnS_n は非負係数をもつ多項式なので [0,1][0,1] 上で連続かつ狭義単調増加であり、Sn(0)=0S_n(0)=0, Sn(1)>1S_n(1)>1 である。