各区間は nnn 回後に変動する下限と上限 111 の間へ到達する初期値からなる。区間は両側から狭まる。
二次写像 $y=u^2+u/2$ のグラフ。
連続性と狭義単調性より、Sn(an)=1−1/nS_n(a_n)=1-1/nSn(an)=1−1/n, Sn(bn)=1S_n(b_n)=1Sn(bn)=1 を満たす一意な an,bn∈(0,1)a_n,b_n\in(0,1)an,bn∈(0,1) が存在する。写像 u↦u(u+1/n)u\mapsto u(u+1/n)u↦u(u+1/n) は u=1−1/nu=1-1/nu=1−1/n を固定するので、第一式から Sn−1(an)=1−1/nS_{n-1}(a_n)=1-1/nSn−1(an)=1−1/n も得られる。この境界点で漸化式を比較すると an<an+1a_n<a_{n+1}an<an+1, bn>bn+1b_n>b_{n+1}bn>bn+1。従って閉区間 [an,bn][a_n,b_n][an,bn] は入れ子になる。