MathLabs

第6問

任意の実数 x1x_1 に対して、xn+1=xn(xn+1n)x_{n+1}=x_n\left(x_n+\frac1n\right) により数列を定める。すべての nn について 0<xn<xn+1<10<x_n<x_{n+1}<1 となる x1x_1 がただ一つ存在することを証明せよ。
ステップ 3/5: 共通点を選び評価を確認する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

選んだ初期値は狭くなるすべての門を通る。nn 回後も 11 未満だが、すでに 11 に非常に近い。

x1∈⋂n≥1[an,bn]⟹1−1n<xn<1x_1\in\bigcap_{n\ge1}[a_n,b_n]\quad\Longrightarrow\quad 1-\frac1n<x_n<1
詳しい解説

入れ子区間の共通部分は空でないので、その中から x1x_1 を選ぶ。端点列は狭義なので x1x_1 はどの ana_n や bnb_n にも等しくなく、すべての nn で an<x1<bna_n<x_1<b_n。従って xn+1=Sn(x1)x_{n+1}=S_n(x_1) は 1−1/n1-1/n と 11 の間にある。また n≥1n\ge1 では xn=Sn−1(x1)>Sn−1(an)=1−1/nx_n=S_{n-1}(x_1)>S_{n-1}(a_n)=1-1/n（n=1n=1 は明らかな解釈をする）。