MathLabs

第6問

任意の実数 x1x_1 に対して、xn+1=xn(xn+1n)x_{n+1}=x_n\left(x_n+\frac1n\right) により数列を定める。すべての nn について 0<xn<xn+1<10<x_n<x_{n+1}<1 となる x1x_1 がただ一つ存在することを証明せよ。
ステップ 4/5: 狭義単調増加を得る
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

固定されたしきい値を上回ると次の乗数が 11 を超えるので正の値は増加し、上の門が 11 を越えないようにする。

xn+1−xn=xn(xn+1n−1)>0x_{n+1}-x_n=x_n\left(x_n+\frac1n-1\right)>0
詳しい解説

ステップ3より xn>1−1/nx_n>1-1/n かつ xn>0x_n>0。従って xn+1/n>1x_n+1/n>1 であり、漸化式から xn+1=xn(xn+1/n)>xnx_{n+1}=x_n(x_n+1/n)>x_n。またステップ3より xn+1<1x_{n+1}<1 なので、すべての nn で 0<xn<xn+1<10<x_n<x_{n+1}<1。