国際数学オリンピック · 1986年

問題

第1問 $2$ 、 $5$ 、 $13$ のいずれとも異なる正の整数 $d$ を任意にとる。集合 $\{2, 5, 13, d\}$ の中から相異なる元 $a$ 、 $b$ を選んで、 $ab - 1$ が平方数にならないようにできることを示せ。解答: 2
第2問三角形 $A_1A_2A_3$ の平面上に点 $P_0$ をとり、すべての $s\ge4$ について $A_s=A_{s-3}$ と定める。 $P_{k+1}$ が $A_{k+1}$ を中心とする時計回り $120^\circ$ の回転による $P_k$ の像となるように点列 $P_1,P_2,\ldots$ を作る。 $P_{1986}=P_0$ ならば、三角形 $A_1A_2A_3$ が正三角形であることを証明せよ。解答: 1
第3問正五角形の各頂点に整数を割り当て、5数の総和を正とする。連続する3頂点の数が $x,y,z$ で $y<0$ のとき、それらをそれぞれ $x+y,-y,z+y$ に置き換える。負の数がある限りこの操作を繰り返す。この手続きは必ず有限回で終了するか。解答: 2
第4問中心が $O$ である正 $n$ 角形（ $n\ge5$ ）の隣接頂点を $A,B$ とする。 $OAB$ と合同で初めは一致している三角形 $XYZ$ を動かし、 $Y$ と $Z$ がそれぞれ多角形の全周をたどり、 $X$ は常に多角形の内部にあるようにする。 $X$ の軌跡を求めよ。解答: 1
第5問非負実数全体から非負実数全体への全射関数 $f$ で、すべての非負実数 $x,y$ に対して $f(xf(y))f(y)=f(x+y)$ を満たし、 $f(2)=0$ 、かつすべての $0\le x<2$ で $f(x)\ne0$ となるものをすべて求めよ。解答: 2
第6問平面上の有限個の点が与えられ、各点は整数座標をもつ。座標軸のいずれかに平行な任意の直線 $L$ 上で、その直線 $L$ 上の白点数と赤点数の差の絶対値が高々 $1$ となるように、常に点を赤または白に塗り分けられるか。解答: 1