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第4問

中心が OO である正 nn 角形（n≥5n\ge5）の隣接頂点を A,BA,B とする。OABOAB と合同で初めは一致している三角形 XYZXYZ を動かし、YY と ZZ がそれぞれ多角形の全周をたどり、XX は常に多角形の内部にあるようにする。XX の軌跡を求めよ。
ステップ 1/5: 一つの辺から次の辺までを調べる
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

動く三角形が OABOAB の位置から OBCOBC の位置へ移る間を理解すれば十分で、他の区間はこの区間の回転像である。

∠YXZ=∠AOB=2πn,∠YBZ=∠ABC=π−2πn\angle YXZ=\angle AOB=\frac{2\pi}{n},\quad\angle YBZ=\angle ABC=\pi-\frac{2\pi}{n}
詳しい解説

BB に隣接するもう一つの頂点 C≠AC\ne A とする。OABOAB から OBCOBC までの間、XX の角は ∠YXZ=∠AOB=2πn\angle YXZ=\angle AOB=\frac{2\pi}{n}、BB の多角形角は ∠YBZ=∠ABC=π−2πn\angle YBZ=\angle ABC=\pi-\frac{2\pi}{n} である。