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第2問

三角形 A1A2A3A_1A_2A_3 の平面上に点 P0P_0 をとり、すべての s≥4s\ge4 について As=As−3A_s=A_{s-3} と定める。Pk+1P_{k+1} が Ak+1A_{k+1} を中心とする時計回り 120∘120^\circ の回転による PkP_k の像となるように点列 P1,P2,…P_1,P_2,\ldots を作る。P1986=P0P_{1986}=P_0 ならば、三角形 A1A2A3A_1A_2A_3 が正三角形であることを証明せよ。
ステップ 1/5: 正規化して回転を表す
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

平面の相似変換により最初の二つの中心を 00 と 11 に置ける。時計回り 120∘120^\circ の回転は単位複素数 ω\omega による乗法である。

A1=0,A2=1,A3=a,ω=e4iπ/3A_1=0,\quad A_2=1,\quad A_3=a,\quad \omega=e^{4i\pi/3}
単位円上の時計回り 120∘120^\circ の乗数 ω=e4iπ/3\omega=e^{4i\pi/3}。
時計回り $120^\circ$ 回転の乗数である角度 $240^\circ$ の点を示す単位円。
詳しい解説

A1=0A_1=0、A2=1A_2=1、A3=aA_3=a、ω=e4iπ/3\omega=e^{4i\pi/3} とおく。中心 cc の回転は PP を ω(P−c)+c\omega(P-c)+c に移す。