MathLabs

第2問

三角形 A1A2A3A_1A_2A_3 の平面上に点 P0P_0 をとり、すべての s≥4s\ge4 について As=As−3A_s=A_{s-3} と定める。Pk+1P_{k+1} が Ak+1A_{k+1} を中心とする時計回り 120∘120^\circ の回転による PkP_k の像となるように点列 P1,P2,…P_1,P_2,\ldots を作る。P1986=P0P_{1986}=P_0 ならば、三角形 A1A2A3A_1A_2A_3 が正三角形であることを証明せよ。
ステップ 3/5: 周期条件を使う
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

各ブロックで同じ平行移動を受けるため、662662 ブロック後の変位はそのベクトルの 662662 倍になる。

1986=3⋅6621986=3\cdot662
詳しい解説

1986=3⋅6621986=3\cdot662 なので P1986=P0+662(−i3−aω+a)P_{1986}=P_0+662(-i\sqrt3-a\omega+a) である。仮定 P1986=P0P_{1986}=P_0 から −i3−aω+a=0-i\sqrt3-a\omega+a=0 を得る。