MathLabs

第2問

三角形 A1A2A3A_1A_2A_3 の平面上に点 P0P_0 をとり、すべての s≥4s\ge4 について As=As−3A_s=A_{s-3} と定める。Pk+1P_{k+1} が Ak+1A_{k+1} を中心とする時計回り 120∘120^\circ の回転による PkP_k の像となるように点列 P1,P2,…P_1,P_2,\ldots を作る。P1986=P0P_{1986}=P_0 ならば、三角形 A1A2A3A_1A_2A_3 が正三角形であることを証明せよ。
ステップ 4/5: 第三頂点を求める
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

平行移動が零という条件が、A1A2A_1A_2 に対する A3A_3 の位置を完全に決める。

a=i31−e4iπ/3=12+i32a=\frac{i\sqrt3}{1-e^{4i\pi/3}}=\frac12+i\frac{\sqrt3}{2}
詳しい解説

整理すると a(1−ω)=i3a(1-\omega)=i\sqrt3 である。ω=e4iπ/3\omega=e^{4i\pi/3} を代入すれば a=i31−e4iπ/3=12+i32a=\frac{i\sqrt3}{1-e^{4i\pi/3}}=\frac12+i\frac{\sqrt3}{2} となる。