第4問

中心が

O

である正

n

角形（

n\ge5

）の隣接頂点を

A,B

とする。

OAB

と合同で初めは一致している三角形

XYZ

を動かし、

Y

と

Z

がそれぞれ多角形の全周をたどり、

X

は常に多角形の内部にあるようにする。

X

の軌跡を求めよ。

ステップ 5/5:

n

回対称性を適用する

ざっくり言うと

各辺での遷移は、最初の遷移を $O$ のまわりに $2\pi/n$ 回転したものである。

\mathcal L=\bigcup_{j=0}^{n-1}R_{2\pi j/n}(\overline{OV})

詳しい解説

$Y,Z$ が $n$ 辺すべてを通ると、回転対称性により、 $O$ を通り各頂点と $O$ を結ぶ直線上にある合同な線分が $n$ 本得られる（多角形内部側だけを取る）。従って軌跡は $O$ を中心にした $n$ 本の腕を持つ線分の星形である。