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第5問

非負実数全体から非負実数全体への全射関数 ff で、すべての非負実数 x,yx,y に対して f(xf(y))f(y)=f(x+y)f(xf(y))f(y)=f(x+y) を満たし、f(2)=0f(2)=0、かつすべての 0≤x<20\le x<2 で f(x)≠0f(x)\ne0 となるものをすべて求めよ。
ステップ 1/5: 零となる範囲を求める
ざっくり言うと

既知の零 f(2)f(2) を関数方程式に代入すると、22 以上のすべての引数へ零が伝播する。

f(x+2)=f(xf(2))f(2)=0f(x+2)=f(xf(2))f(2)=0
詳しい解説

y=2y=2 とおけば、すべての x≥0x\ge0 に対して f(x+2)=f(xf(2))f(2)=0f(x+2)=f(xf(2))f(2)=0。したがって t≥2t\ge2 なら f(t)=0f(t)=0 である。