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第5問

非負実数全体から非負実数全体への全射関数 ff で、すべての非負実数 x,yx,y に対して f(xf(y))f(y)=f(x+y)f(xf(y))f(y)=f(x+y) を満たし、f(2)=0f(2)=0、かつすべての 0≤x<20\le x<2 で f(x)≠0f(x)\ne0 となるものをすべて求めよ。
ステップ 2/5: 2未満での下界を得る
ざっくり言うと

y<2y<2 では非零条件により f(y)f(y) の因子を除けるので、もう一つの因子の引数が零領域に入らなければならない。

f((2−y)f(y))f(y)=f(2)=0⟹(2−y)f(y)≥2f((2-y)f(y))f(y)=f(2)=0\Longrightarrow(2-y)f(y)\ge2
詳しい解説

0≤y<20\le y<2 に対して x=2−yx=2-y とおくと、f((2−y)f(y))f(y)=f(2)=0f((2-y)f(y))f(y)=f(2)=0。f(y)≠0f(y)\ne0 なので f((2−y)f(y))=0f((2-y)f(y))=0、従って (2−y)f(y)≥2(2-y)f(y)\ge2、すなわち f(y)≥22−yf(y)\ge\frac{2}{2-y} である。