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第5問

非負実数全体から非負実数全体への全射関数 ff で、すべての非負実数 x,yx,y に対して f(xf(y))f(y)=f(x+y)f(xf(y))f(y)=f(x+y) を満たし、f(2)=0f(2)=0、かつすべての 0≤x<20\le x<2 で f(x)≠0f(x)\ne0 となるものをすべて求めよ。
ステップ 3/5: 下界が厳密不等号になる場合を排除する
ざっくり言うと

ある値が大きすぎるなら、ff の内部の積がちょうど 22 になる近い引数を選べば、22 未満で零となる禁則が生じる。

f(a)>22−a⟹f(2−ε)=0f(a)>\frac{2}{2-a}\Longrightarrow f(2-\varepsilon)=0
詳しい解説

ある a<2a<2 で f(a)>22−af(a)>\frac{2}{2-a} と仮定し、f(a)=22−a−εf(a)=\frac{2}{2-a-\varepsilon} となる ε>0\varepsilon>0 を選ぶ。y=ay=a と x=2−a−εx=2-a-\varepsilon とすると左辺は f(2)f(a)=0f(2)f(a)=0、右辺は 2−ε<22-\varepsilon<2 より f(2−ε)≠0f(2-\varepsilon)\ne0。矛盾である。