第5問

非負実数全体から非負実数全体への全射関数

f

で、すべての非負実数

x,y

に対して

f(xf(y))f(y)=f(x+y)

を満たし、

f(2)=0

、かつすべての

0\le x<2

で

f(x)\ne0

となるものをすべて求めよ。

ステップ 1/4: 零値を伝播させる

ざっくり言うと

$2$ での特別な値が直ちに全ての後半を支配する。

y=2\Longrightarrow f(x+2)=0\Longrightarrow f(t)=0\ (t\ge2)

詳しい解説

$f(xf(y))f(y)=f(x+y)$ に $y=2$ を入れる。 $f(2)=0$ より $f(x+2)=0$ （ $x\ge0$ ）であり、 $t\ge2$ なら $f(t)=0$ 。