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第5問

非負実数全体から非負実数全体への全射関数 ff で、すべての非負実数 x,yx,y に対して f(xf(y))f(y)=f(x+y)f(xf(y))f(y)=f(x+y) を満たし、f(2)=0f(2)=0、かつすべての 0≤x<20\le x<2 で f(x)≠0f(x)\ne0 となるものをすべて求めよ。
ステップ 2/4: 下界を得る
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

零領域の特徴づけにより、積が零であることが引数の不等式に変わる。

f(xf(2−x))f(2−x)=f(2)=0⟹f(x)≥22−xf(xf(2-x))f(2-x)=f(2)=0\Longrightarrow f(x)\ge\frac{2}{2-x}
詳しい解説

0≤x<20\le x<2 で y=2−xy=2-x とおく。f(2−x)≠0f(2-x)\ne0 なので f(xf(2−x))=0f(xf(2-x))=0、従って xf(2−x)≥2xf(2-x)\ge2。2−x2-x を yy と書き直せば f(y)≥22−yf(y)\ge\frac{2}{2-y}。