第5問

非負実数全体から非負実数全体への全射関数

f

で、すべての非負実数

x,y

に対して

f(xf(y))f(y)=f(x+y)

を満たし、

f(2)=0

、かつすべての

0\le x<2

で

f(x)\ne0

となるものをすべて求めよ。

ステップ 3/4: 上界を得る

ざっくり言うと

$xf(y)=2$ となるように $x$ を選ぶと、左辺に既知の零 $f(2)$ が現れる。

x=\frac{2}{f(y)}\Longrightarrow f\left(y+\frac{2}{f(y)}\right)=0\Longrightarrow f(y)\le\frac{2}{2-y}

詳しい解説

$0\le y<2$ では $f(y)>0$ なので $x=2/f(y)$ とおく。すると $f(y+2/f(y))=f(2)f(y)=0$ であり、 $y+2/f(y)\ge2$ 。整理すると $f(y)\le\frac{2}{2-y}$ 。