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第5問

非負実数全体から非負実数全体への全射関数 ff で、すべての非負実数 x,yx,y に対して f(xf(y))f(y)=f(x+y)f(xf(y))f(y)=f(x+y) を満たし、f(2)=0f(2)=0、かつすべての 0≤x<20\le x<2 で f(x)≠0f(x)\ne0 となるものをすべて求めよ。
ステップ 4/4: 挟み撃ちと検証
ざっくり言うと

上下界が一致して候補は一つだけ残り、代入で検証できる。

f(y)=22−y (0≤y<2),f(y)=0 (y≥2)f(y)=\frac{2}{2-y}\ (0\le y<2),\qquad f(y)=0\ (y\ge2)
詳しい解説

二つの不等式から [0,2)[0,2) 上で f(y)=22−yf(y)=\frac{2}{2-y}。零の尾部と合わせると、y<2y<2 では f(y)=22−yf(y)=\frac{2}{2-y}、y≥2y\ge2 では f(y)=0f(y)=0 が唯一の関数である。x+y<2x+y<2 と x+y≥2x+y\ge2 の場合に直接代入して検証できる。