MathLabs

第1問

pn(k)p_n(k) を、集合 {1,…,n}\{1, \ldots, n\}（n≥1n \ge 1）のちょうど kk 個の不動点をもつ順列の個数とする。∑k=0nk⋅pn(k)=n!\sum_{k=0}^{n} k \cdot p_n(k) = n! を証明せよ。（集合 SS の順列 ff とは、SS から自身への一対一写像であり、SS の元 ii が f(i)=if(i) = i を満たすとき、ff の不動点という。）
ステップ 3/4: 個数 p_n(k) を用いて E[X] を書き直す
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

これは、問題ですでに与えられている個数 pn(k)p_n(k) を用いて書いただけの、確率変数の平均に対する標準的な公式に過ぎない。

E[X]=∑k=0nk⋅P(X=k)=∑k=0nk⋅pn(k)n!\mathbb{E}[X] = \sum_{k=0}^{n} k \cdot P(X=k) = \sum_{k=0}^{n} k \cdot \frac{p_n(k)}{n!}
詳しい解説

一方、定義により、n!n! 個の等確率な順列のうちちょうど pn(k)p_n(k) 個で X=kX=k となるので、P(X=k)=pn(k)/n!P(X=k) = p_n(k)/n! であり、XX の期待値は E[X]=∑k=0nk⋅pn(k)/n!\mathbb{E}[X] = \sum_{k=0}^{n} k \cdot p_n(k)/n! である。