MathLabs

国際数学オリンピック · 1987年

問題

  1. 第1問pn(k)p_n(k) を、集合 {1,…,n}\{1, \ldots, n\}（n≥1n \ge 1）のちょうど kk 個の不動点をもつ順列の個数とする。∑k=0nk⋅pn(k)=n!\sum_{k=0}^{n} k \cdot p_n(k) = n! を証明せよ。（集合 SS の順列 ff とは、SS から自身への一対一写像であり、SS の元 ii が f(i)=if(i) = i を満たすとき、ff の不動点という。）解答: 2
  2. 第2問鋭角三角形 ABCABC において、角 AA の内角の二等分線が BCBC と交わる点を LL とし、三角形 ABCABC の外接円と再び交わる点を NN とする。点 LL から ABAB、ACAC にそれぞれ垂線を下ろし、その足を KK、MM とする。四角形 AKNMAKNM と三角形 ABCABC の面積が等しいことを証明せよ。解答: 1
  3. 第3問実数 x1,x2,…,xnx_1, x_2, \ldots, x_n が x12+x22+⋯+xn2=1x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 = 1 を満たすとする。k≥2k \ge 2 を満たす任意の整数 k に対し、すべてが 00 ではない整数 a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n で、すべての ii について ∣ai∣≤k−1|a_i| \le k - 1 を満たし、かつ ∣a1x1+a2x2+⋯+anxn∣≤(k−1)nkn−1|a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n| \le \dfrac{(k-1)\sqrt{n}}{k^n - 1} を満たすものが存在することを証明せよ。解答: 1
  4. 第4問非負整数全体からそれ自身への関数 ff で、すべての非負整数 nn に対して f(f(n))=n+1987f(f(n)) = n + 1987 を満たすものが存在しないことを証明せよ。解答: 2
  5. 第5問nn を 33 以上の整数とする。平面上に nn 個の点が存在し、任意の二点間の距離が無理数であり、任意の三点が有理数の面積をもつ非退化三角形を定めることを証明せよ。解答: 1
  6. 第6問n を2以上の整数とする。0≤k≤n/30\le k\le\sqrt{n/3} の全整数 k で k2+k+nk^2+k+n が素数なら、0≤k≤n−20\le k\le n-2 の全整数 k でも素数であることを証明せよ。解答: 1