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第2問

鋭角三角形 ABCABC において、角 AA の内角の二等分線が BCBC と交わる点を LL とし、三角形 ABCABC の外接円と再び交わる点を NN とする。点 LL から ABAB、ACAC にそれぞれ垂線を下ろし、その足を KK、MM とする。四角形 AKNMAKNM と三角形 ABCABC の面積が等しいことを証明せよ。
ステップ 1/5: AKLM は凧形であり、対角線は垂直である
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

図形を ALAL に沿って折ると KK と MM、BB 側と CC 側が入れ替わる。これは ALAL がまさに角の二等分線だからである——この対称性こそが KM⊥ALKM\perp AL を強いる。

AK=AM=ALcos⁡A2,LK=LM=ALsin⁡A2AK = AM = AL\cos\frac{A}{2}, \qquad LK = LM = AL\sin\frac{A}{2}
詳しい解説

ALAL が角 AA の二等分線であり、LK⊥ABLK \perp AB、LM⊥ACLM \perp AC であるから、直角三角形 AKLAKL と AMLAML は斜辺 ALAL を共有し、等しい角 ∠KAL=∠MAL=A/2\angle KAL = \angle MAL = A/2 をもつので合同である:AK=AM=ALcos⁡(A/2)AK=AM=AL\cos(A/2)、LK=LM=ALsin⁡(A/2)LK=LM=AL\sin(A/2)。したがって AKLMAKLM は ALAL に関して対称な凧形であり、その対角線 ALAL と KMKM は垂直である。