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第2問

鋭角三角形 ABCABC において、角 AA の内角の二等分線が BCBC と交わる点を LL とし、三角形 ABCABC の外接円と再び交わる点を NN とする。点 LL から ABAB、ACAC にそれぞれ垂線を下ろし、その足を KK、MM とする。四角形 AKNMAKNM と三角形 ABCABC の面積が等しいことを証明せよ。
ステップ 2/5: 相似三角形による古典的な二等分線と弦の等式
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

これは「角の二等分線のべき」に関する標準的な補題である:二等分線を円まで延長すると、それによって切り取られる二つの三角形は常に互いに相似になる。

AL⋅AN=AB⋅ACAL \cdot AN = AB \cdot AC
詳しい解説

A,L,NA,L,N が共線であるから、三角形 ABLABL と ANCANC は AA において角 ∠BAL=∠NAC=A/2\angle BAL=\angle NAC=A/2 を共有する。また ∠ABC\angle ABC と ∠ANC\angle ANC は外接円の同じ弧 ACAC に対する円周角であるから ∠ABL=∠ABC=∠ANC\angle ABL=\angle ABC=\angle ANC である。したがって △ABL∼△ANC\triangle ABL \sim \triangle ANC となり、AB/AN=AL/ACAB/AN = AL/AC、すなわち AL⋅AN=AB⋅ACAL\cdot AN = AB\cdot AC が得られる。