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第2問

鋭角三角形 ABCABC において、角 AA の内角の二等分線が BCBC と交わる点を LL とし、三角形 ABCABC の外接円と再び交わる点を NN とする。点 LL から ABAB、ACAC にそれぞれ垂線を下ろし、その足を KK、MM とする。四角形 AKNMAKNM と三角形 ABCABC の面積が等しいことを証明せよ。
ステップ 3/5: 凧形の対角線 KM を計算する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

凧形の短い対角線 KMKM は、直角三角形 AKLAKL の斜辺 ALAL への高さの二倍である——これは倍角公式により ALsin⁡AAL\sin A へときれいにまとまる。

KM=2⋅AK⋅KLAL=2⋅ALcos⁡A2sin⁡A2=ALsin⁡AKM = 2\cdot\frac{AK\cdot KL}{AL} = 2\cdot AL\cos\frac{A}{2}\sin\frac{A}{2} = AL\sin A
詳しい解説

対角線 ALAL と KMKM の交点を QQ とする。AKLMAKLM は凧形であるから、QQ は直角三角形 AKLAKL における KK(および MM)から ALAL へ下ろした垂線の足であり、KQKQ(KMKM の半分)は斜辺上の高さの関係により (AK⋅KL)/AL(AK\cdot KL)/AL に等しい。ステップ1の AK=ALcos⁡(A/2)AK=AL\cos(A/2)、KL=ALsin⁡(A/2)KL=AL\sin(A/2) を代入すると KM=2ALsin⁡(A/2)cos⁡(A/2)=ALsin⁡AKM = 2AL\sin(A/2)\cos(A/2) = AL\sin A が得られる。