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第2問

鋭角三角形 ABCABC において、角 AA の内角の二等分線が BCBC と交わる点を LL とし、三角形 ABCABC の外接円と再び交わる点を NN とする。点 LL から ABAB、ACAC にそれぞれ垂線を下ろし、その足を KK、MM とする。四角形 AKNMAKNM と三角形 ABCABC の面積が等しいことを証明せよ。
ステップ 5/5: 代入して三角形 ABC の面積であると気づく
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

補助的な長さ ALAL がすべて打ち消し合い、まさに見慣れた [ABC][ABC] 自身の公式 12⋅(side)⋅(side)⋅sin⁡(included angle)\tfrac12\cdot(\text{side})\cdot(\text{side})\cdot\sin(\text{included angle}) が残る——二つの面積は姿を変えた同じ式だったのである。

[AKNM]=12⋅AB⋅ACAL⋅ALsin⁡A=12AB⋅ACsin⁡A=[ABC][AKNM] = \frac{1}{2}\cdot\frac{AB\cdot AC}{AL}\cdot AL\sin A = \frac{1}{2}AB\cdot AC\sin A = [ABC]
詳しい解説

ステップ2の AN=AB⋅AC/ALAN=AB\cdot AC/AL とステップ3の KM=ALsin⁡AKM=AL\sin A をステップ4の公式に代入すると:[AKNM]=12⋅AB⋅ACAL⋅ALsin⁡A=12AB⋅ACsin⁡A[AKNM]=\tfrac12\cdot\frac{AB\cdot AC}{AL}\cdot AL\sin A=\tfrac12 AB\cdot AC\sin A。この最後の式はまさに三角形 △ABC\triangle ABC の面積に対する二辺夾角の標準公式であるから、[AKNM]=[ABC][AKNM]=[ABC] が得られ、これが求めるものである。