MathLabs

第3問

実数 x1,x2,…,xnx_1, x_2, \ldots, x_n が x12+x22+⋯+xn2=1x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 = 1 を満たすとする。k≥2k \ge 2 を満たす任意の整数 k に対し、すべてが 00 ではない整数 a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n で、すべての ii について ∣ai∣≤k−1|a_i| \le k - 1 を満たし、かつ ∣a1x1+a2x2+⋯+anxn∣≤(k−1)nkn−1|a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n| \le \dfrac{(k-1)\sqrt{n}}{k^n - 1} を満たすものが存在することを証明せよ。
ステップ 1/6: 非負の重みへの帰着
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

xix_i の代わりに ∣xi∣|x_i| を扱うことで符号にまつわる面倒がすべて取り除かれる。最後に ∣aixi∣|a_ix_i| を変えることなく aia_i に正しい符号を戻すことができる。

yi=∣xi∣≥0,y12+⋯+yn2=1y_i = |x_i| \ge 0, \qquad y_1^2+\cdots+y_n^2 = 1
詳しい解説

各 ii に対して yi=∣xi∣≥0y_i=|x_i|\ge0 とおく。すると ∑yi2=∑xi2=1\sum y_i^2=\sum x_i^2=1 が依然として成り立つ。∣di∣≤k−1|d_i|\le k-1 かつ ∣∑diyi∣≤(k−1)nkn−1\left|\sum d_i y_i\right|\le \frac{(k-1)\sqrt n}{k^n-1} を満たす、すべて 0 ではない整数 d1,…,dnd_1,\ldots,d_n を見つければ十分である:そのような did_i が見つかれば、xi≥0x_i\ge0 のとき ai=dia_i=d_i、xi<0x_i<0 のとき ai=−dia_i=-d_i とおくと、すべての ii について aixi=diyia_ix_i=d_iy_i となるので、∑aixi=∑diyi\sum a_ix_i=\sum d_iy_i は同じ絶対値をもち、∣ai∣=∣di∣≤k−1|a_i|=|d_i|\le k-1 である。