MathLabs

第3問

実数 x1,x2,…,xnx_1, x_2, \ldots, x_n が x12+x22+⋯+xn2=1x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 = 1 を満たすとする。k≥2k \ge 2 を満たす任意の整数 k に対し、すべてが 00 ではない整数 a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n で、すべての ii について ∣ai∣≤k−1|a_i| \le k - 1 を満たし、かつ ∣a1x1+a2x2+⋯+anxn∣≤(k−1)nkn−1|a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n| \le \dfrac{(k-1)\sqrt{n}}{k^n - 1} を満たすものが存在することを証明せよ。
ステップ 2/6: 整数重み付き和 k^n 個すべてを列挙する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

正しい整数を直接推測する代わりに、可能なすべての『小さな』整数の組み合わせを列挙し、その値がどこに落ち着くかを見る。

S(c)=∑i=1nciyi,c=(c1,…,cn)∈{0,1,…,k−1}nS(c) = \sum_{i=1}^{n} c_i y_i, \qquad c=(c_1,\ldots,c_n)\in\{0,1,\ldots,k-1\}^n
詳しい解説

各 cic_i が {0,1,…,k−1}\{0,1,\ldots,k-1\} に属する整数であるようなすべての組 c=(c1,…,cn)c=(c_1,\ldots,c_n) を考える。そのような組は knk^n 個ある(nn 個の座標それぞれに kk 通りの選択)。各組に対して実数 S(c)=∑i=1nciyiS(c)=\sum_{i=1}^n c_iy_i を定める。