コーシー・シュワルツは、重み付き和が二つの成分ベクトルの大きさの積よりはるかに大きくなることは決してないと述べている——ここでその上限はまさに (k−1)n(k-1)\sqrt n(k−1)n である。
yi≥0y_i\ge0yi≥0 かつ ci≥0c_i\ge0ci≥0 であるから、明らかに S(c)≥0S(c)\ge0S(c)≥0 である。コーシー・シュワルツの不等式により、ci≤k−1c_i\le k-1ci≤k−1 と ∑yi2=1\sum y_i^2=1∑yi2=1 を用いて S(c)=∑ciyi≤∑ci2⋅∑yi2≤n(k−1)2⋅1=(k−1)nS(c)=\sum c_iy_i\le\sqrt{\sum c_i^2}\cdot\sqrt{\sum y_i^2}\le\sqrt{n(k-1)^2}\cdot1=(k-1)\sqrt nS(c)=∑ciyi≤∑ci2⋅∑yi2≤n(k−1)2⋅1=(k−1)n が得られる。したがって knk^nkn 個の値 S(c)S(c)S(c) はすべて区間 [0,(k−1)n][0,(k-1)\sqrt n][0,(k−1)n] に属する。