MathLabs

第3問

実数 x1,x2,…,xnx_1, x_2, \ldots, x_n が x12+x22+⋯+xn2=1x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 = 1 を満たすとする。k≥2k \ge 2 を満たす任意の整数 k に対し、すべてが 00 ではない整数 a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n で、すべての ii について ∣ai∣≤k−1|a_i| \le k - 1 を満たし、かつ ∣a1x1+a2x2+⋯+anxn∣≤(k−1)nkn−1|a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n| \le \dfrac{(k-1)\sqrt{n}}{k^n - 1} を満たすものが存在することを証明せよ。
ステップ 5/6: 衝突した二つの組の差を取る
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

ほぼ等しい二つの和を引き算すると、大部分が打ち消し合い、本当にわずかな量だけが残る——それがまさに達成すべき評価である。

di=ci−ci′,d≠0,∣di∣≤k−1,∣S(c)−S(c′)∣=∣∑diyi∣≤(k−1)nkn−1d_i = c_i - c'_i, \qquad d \ne 0, \quad |d_i|\le k-1, \qquad |S(c)-S(c')| = \left|\sum d_i y_i\right| \le \frac{(k-1)\sqrt n}{k^n-1}
詳しい解説

di=ci−ci′d_i=c_i-c_i' とおく。c≠c′c\ne c' であるから、すべての did_i が 0 であることはない。ci,ci′∈{0,…,k−1}c_i,c_i'\in\{0,\ldots,k-1\} であるから、各 ∣di∣≤k−1|d_i|\le k-1 である。S(c)S(c) と S(c′)S(c') が長さ (k−1)nkn−1\frac{(k-1)\sqrt n}{k^n-1} の同じ小区間に属するので、それらの差は ∣∑idiyi∣=∣S(c)−S(c′)∣≤(k−1)nkn−1\left|\sum_i d_iy_i\right|=|S(c)-S(c')|\le\frac{(k-1)\sqrt n}{k^n-1} を満たす。