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第3問

実数 x1,x2,…,xnx_1, x_2, \ldots, x_n が x12+x22+⋯+xn2=1x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 = 1 を満たすとする。k≥2k \ge 2 を満たす任意の整数 k に対し、すべてが 00 ではない整数 a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n で、すべての ii について ∣ai∣≤k−1|a_i| \le k - 1 を満たし、かつ ∣a1x1+a2x2+⋯+anxn∣≤(k−1)nkn−1|a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n| \le \dfrac{(k-1)\sqrt{n}}{k^n - 1} を満たすものが存在することを証明せよ。
ステップ 6/6: 符号を復元して完成させる
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

did_i に xix_i の符号を付け直すという操作は、最初から aixia_ix_i がちょうど diyid_iy_i になるように設計されており、ステップ5で yiy_i について証明した評価がそのまま移し替えられる。

ai={di,xi≥0−di,xi<0  ⟹  ∣∑iaixi∣=∣∑idiyi∣≤(k−1)nkn−1a_i = \begin{cases} d_i, & x_i \ge 0 \\ -d_i, & x_i < 0 \end{cases} \implies \left|\sum_i a_ix_i\right| = \left|\sum_i d_iy_i\right| \le \frac{(k-1)\sqrt n}{k^n-1}
詳しい解説

xi≥0x_i\ge0 のとき ai=dia_i=d_i、xi<0x_i<0 のとき ai=−dia_i=-d_i と定める。すると常に aixi=di∣xi∣=diyia_ix_i=d_i|x_i|=d_iy_i となるので ∑aixi=∑diyi\sum a_ix_i=\sum d_iy_i であり、すべての ii について ∣ai∣=∣di∣≤k−1|a_i|=|d_i|\le k-1 であって、(すべての did_i が 0 ではないので)すべての aia_i が 0 になることはない。ステップ5と合わせるとちょうど ∣∑aixi∣≤(k−1)nkn−1\left|\sum a_ix_i\right|\le\frac{(k-1)\sqrt n}{k^n-1} が得られ、証明が完成する。