MathLabs

第5問

nn を 33 以上の整数とする。平面上に nn 個の点が存在し、任意の二点間の距離が無理数であり、任意の三点が有理数の面積をもつ非退化三角形を定めることを証明せよ。
ステップ 2/5: 二点間の距離を因数分解する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

平方差から整数因子を取り出すと、根号の中には平方よりちょうど一つ大きい数が残る。

d=(x1−x2)2+(x12−x22)2=∣x1−x2∣1+(x1+x2)2d=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(x_1^2-x_2^2)^2}=|x_1-x_2|\sqrt{1+(x_1+x_2)^2}
詳しい解説

異なる二点 (x1,x12)(x_1,x_1^2)、(x2,x22)(x_2,x_2^2) に対し、距離公式と x12−x22=(x1−x2)(x1+x2)x_1^2-x_2^2=(x_1-x_2)(x_1+x_2) から d=(x1−x2)2+(x12−x22)2=∣x1−x2∣1+(x1+x2)2d=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(x_1^2-x_2^2)^2}=|x_1-x_2|\sqrt{1+(x_1+x_2)^2} を得る。