MathLabs

第5問

nn を 33 以上の整数とする。平面上に nn 個の点が存在し、任意の二点間の距離が無理数であり、任意の三点が有理数の面積をもつ非退化三角形を定めることを証明せよ。
ステップ 3/5: 距離は無理数である
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

連続する整数平方の間に別の整数平方はないので、根号の中に一を加えることで必要な無理性が生まれる。

(x1+x2)2<1+(x1+x2)2<(x1+x2+1)2(x_1+x_2)^2<1+(x_1+x_2)^2<(x_1+x_2+1)^2
詳しい解説

整数 1+(x1+x2)21+(x_1+x_2)^2 は連続する二つの平方 (x1+x2)2(x_1+x_2)^2 と (x1+x2+1)2(x_1+x_2+1)^2 の間に厳密にあるので、平方数ではない。したがってその平方根は無理数である。∣x1−x2∣|x_1-x_2| は零でない整数なので、それを掛けても無理数のままであり、任意の二点間距離は無理数である。