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第5問

nn を 33 以上の整数とする。平面上に nn 個の点が存在し、任意の二点間の距離が無理数であり、任意の三点が有理数の面積をもつ非退化三角形を定めることを証明せよ。
ステップ 5/5: 格子点の頂点は有理面積を与える
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

整数座標なら靴紐公式の和は整数であり、それを二で割っても有理数にしかならない。

2[ABC]=∣det⁡(x1x121x2x221x3x321)∣∈Z2[ABC]=\left|\det\begin{pmatrix}x_1&x_1^2&1\\x_2&x_2^2&1\\x_3&x_3^2&1\end{pmatrix}\right|\in\mathbb Z
詳しい解説

三点 (xj,xj2)(x_j,x_j^2) の任意の組について、靴紐公式の行列式の全成分は整数である。したがって符号付き面積の二倍は整数であり、面積は半整数、従って有理数である。ステップ4と合わせれば、任意の三点は有理面積の非退化三角形を定める。