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第6問

n を2以上の整数とする。0≤k≤n/30\le k\le\sqrt{n/3} の全整数 k で k2+k+nk^2+k+n が素数なら、0≤k≤n−20\le k\le n-2 の全整数 k でも素数であることを証明せよ。
ステップ 2/5: 第2段階
前のステップ次のステップ
M⊥{b+1,…,2b}, (2b+1)2>M⟹M primeM\perp\{b+1,\ldots,2b\},\ (2b+1)^2>M\Longrightarrow M\text{ prime}
詳しい解説

MM が b+1,…,2bb+1,\ldots,2b のすべてと互いに素で、(2b+1)2>M(2b+1)^2>M ならば、MM は素数である。合成数 MM なら c≤M<2b+1c\le\sqrt M<2b+1 を満たす因子 c がある。c>bc>b なら c 自身が区間に入り、c≤bc\le b なら cc の適当な正の倍数が [b+1,2b][b+1,2b] に入るので、いずれも矛盾する。