国際数学オリンピック · 1988年

問題

第1問共心の二円の半径を $R>r$ とする。P を小円上に固定し、B を大円上で動かす。BP と大円のもう一つの交点を C、P で BP に垂直な直線と小円のもう一つの交点を A とする（接線なら A=P）。(i) $AB^2+BC^2+CA^2$ の値の集合、(ii) BC の中点の軌跡を求めよ。解答: 1
第2問 $n$ を正整数とし、 $A_1,\ldots,A_{2n+1}$ を $B$ の部分集合とする。各 $A_i$ は $2n$ 個の要素を持ち、異なる二つの $A_i$ の共通部分はちょうど1要素で、 $B$ の各要素は少なくとも二つの集合 $A_i$ に属する。各 $A_i$ のちょうど $n$ 個の要素に0を付けられるのはどの $n$ か。解答: 1
第3問正整数上の関数 $f$ を $f(1)=1$ 、 $f(3)=3$ 、 $f(2n)=f(n)$ 、 $f(4n+1)=2f(2n+1)-f(n)$ 、 $f(4n+3)=3f(2n+1)-2f(n)$ で定める。 $n\le1988$ かつ $f(n)=n$ となる正整数の個数を求めよ。解答: 1
第4問不等式 $\sum_{k=1}^{70}\frac{k}{x-k}\ge\frac{5}{4}$ の解集合が互いに素な区間の和であり、それらの長さの総和が $1988$ であることを示せ。解答: 1
第5問 $ABC$ は $A$ を直角とする直角三角形で、 $AD$ は斜辺への高さである。 $ABD$ と $ACD$ の内心を結ぶ直線が $AB,AC$ とそれぞれ $K,L$ で交わるとする。 $S$ と $T$ を $ABC$ と $AKL$ の面積とするとき、 $S\ge2T$ を示せ。解答: 1
第6問 $a,b$ を正の整数とし、 $ab+1$ が $a^2+b^2$ を割り切るとする。 $(a^2+b^2)/(ab+1)$ が整数の平方であることを示せ。解答: 1