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国際数学オリンピック
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1988年
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第3問
第3問
正整数上の関数
f
f
f
を
f
(
1
)
=
1
f(1)=1
f
(
1
)
=
1
、
f
(
3
)
=
3
f(3)=3
f
(
3
)
=
3
、
f
(
2
n
)
=
f
(
n
)
f(2n)=f(n)
f
(
2
n
)
=
f
(
n
)
、
f
(
4
n
+
1
)
=
2
f
(
2
n
+
1
)
−
f
(
n
)
f(4n+1)=2f(2n+1)-f(n)
f
(
4
n
+
1
)
=
2
f
(
2
n
+
1
)
−
f
(
n
)
、
f
(
4
n
+
3
)
=
3
f
(
2
n
+
1
)
−
2
f
(
n
)
f(4n+3)=3f(2n+1)-2f(n)
f
(
4
n
+
3
)
=
3
f
(
2
n
+
1
)
−
2
f
(
n
)
で定める。
n
≤
1988
n\le1988
n
≤
1988
かつ
f
(
n
)
=
n
f(n)=n
f
(
n
)
=
n
となる正整数の個数を求めよ。
ステップ 2/6: 第2段階
前のステップ
次のステップ
n
=
(
1
b
r
b
r
−
1
⋯
b
1
1
)
2
⟹
f
(
n
)
=
(
1
b
1
b
2
⋯
b
r
1
)
2
n=(1b_rb_{r-1}\cdots b_1 1)_2\Longrightarrow f(n)=(1b_1b_2\cdots b_r1)_2
n
=
(
1
b
r
b
r
−
1
⋯
b
1
1
)
2
⟹
f
(
n
)
=
(
1
b
1
b
2
⋯
b
r
1
)
2
詳しい解説
二進表示の長さに関する帰納法から、奇数 n の表示が (1b_r...b_1 1)_2 なら f(n) の表示は (1b_1...b_r1)_2 となる。つまり f は内部ブロックだけを反転する。
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