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国際数学オリンピック
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1988年
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第3問
第3問
正整数上の関数
f
f
f
を
f
(
1
)
=
1
f(1)=1
f
(
1
)
=
1
、
f
(
3
)
=
3
f(3)=3
f
(
3
)
=
3
、
f
(
2
n
)
=
f
(
n
)
f(2n)=f(n)
f
(
2
n
)
=
f
(
n
)
、
f
(
4
n
+
1
)
=
2
f
(
2
n
+
1
)
−
f
(
n
)
f(4n+1)=2f(2n+1)-f(n)
f
(
4
n
+
1
)
=
2
f
(
2
n
+
1
)
−
f
(
n
)
、
f
(
4
n
+
3
)
=
3
f
(
2
n
+
1
)
−
2
f
(
n
)
f(4n+3)=3f(2n+1)-2f(n)
f
(
4
n
+
3
)
=
3
f
(
2
n
+
1
)
−
2
f
(
n
)
で定める。
n
≤
1988
n\le1988
n
≤
1988
かつ
f
(
n
)
=
n
f(n)=n
f
(
n
)
=
n
となる正整数の個数を求めよ。
ステップ 3/6: 第3段階
前のステップ
次のステップ
f
(
n
)
=
n
⟺
b
1
⋯
b
r
=
b
r
⋯
b
1
f(n)=n\Longleftrightarrow b_1\cdots b_r=b_r\cdots b_1
f
(
n
)
=
n
⟺
b
1
⋯
b
r
=
b
r
⋯
b
1
詳しい解説
不動点は内部が回文であるものにちょうど一致する。長さ
r
r
r
の二進語は
2
⌈
r
/
2
⌉
2^{\lceil r/2\rceil}
2
⌈
r
/2
⌉
個の回文をもつ。
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