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国際数学オリンピック
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1988年
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第3問
第3問
正整数上の関数
f
f
f
を
f
(
1
)
=
1
f(1)=1
f
(
1
)
=
1
、
f
(
3
)
=
3
f(3)=3
f
(
3
)
=
3
、
f
(
2
n
)
=
f
(
n
)
f(2n)=f(n)
f
(
2
n
)
=
f
(
n
)
、
f
(
4
n
+
1
)
=
2
f
(
2
n
+
1
)
−
f
(
n
)
f(4n+1)=2f(2n+1)-f(n)
f
(
4
n
+
1
)
=
2
f
(
2
n
+
1
)
−
f
(
n
)
、
f
(
4
n
+
3
)
=
3
f
(
2
n
+
1
)
−
2
f
(
n
)
f(4n+3)=3f(2n+1)-2f(n)
f
(
4
n
+
3
)
=
3
f
(
2
n
+
1
)
−
2
f
(
n
)
で定める。
n
≤
1988
n\le1988
n
≤
1988
かつ
f
(
n
)
=
n
f(n)=n
f
(
n
)
=
n
となる正整数の個数を求めよ。
ステップ 5/6: 第5段階
前のステップ
次のステップ
32
−
2
=
30
,
62
+
30
=
92
32-2=30,\quad62+30=92
32
−
2
=
30
,
62
+
30
=
92
詳しい解説
2047 以下には二進表示が 11 桁の不動な奇数が 32 個ある。1988 を超える 2 個は 2015 と 2047 なので、残りは 30 個であり、62+30=92 となる。
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