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第4問

不等式 ∑k=170kx−k≥54\sum_{k=1}^{70}\frac{k}{x-k}\ge\frac{5}{4} の解集合が互いに素な区間の和であり、それらの長さの総和が 19881988 であることを示せ。
ステップ 4/4: ヴィエトの公式を適用する
∑n=170rn=95(1+2+⋯+70)=9⋅7⋅71,L=28⋅71=1988\sum_{n=1}^{70}r_n=\frac{9}{5}(1+2+\cdots+70)=9\cdot7\cdot71,\qquad L=28\cdot71=1988
詳しい解説

P(x)=∏k=170(x−k)P(x)=\prod_{k=1}^{70}(x-k) とおく。4∑k=170kP(x)/(x−k)−5P(x)=04\sum_{k=1}^{70}kP(x)/(x-k)-5P(x)=0 では最高次係数が −5-5、x69x^{69} の係数が 9(1+2+⋯+70)9(1+2+\cdots+70) である。よってヴィエトの公式から ∑n=170rn=95(1+2+⋯+70)=9⋅7⋅71\sum_{n=1}^{70}r_n=\frac{9}{5}(1+2+\cdots+70)=9\cdot7\cdot71。これを LL に代入すると L=28⋅71=1988L=28\cdot71=1988 を得る。