MathLabs

第5問

ABCABC は AA を直角とする直角三角形で、ADAD は斜辺への高さである。ABDABD と ACDACD の内心を結ぶ直線が AB,ACAB,AC とそれぞれ K,LK,L で交わるとする。SS と TT を ABCABC と AKLAKL の面積とするとき、S≥2TS\ge2T を示せ。
ステップ 3/4: 二つの面積を計算する
前のステップ次のステップ
[ABC]=BC⋅AD2,[AKL]=AD22[ABC]=\frac{BC\cdot AD}{2},\qquad [AKL]=\frac{AD^2}{2}
詳しい解説

K=K',L=L' なので [AKL]=AD2/2[AKL]=AD^2/2 である。また [ABC]=BC⋅AD/2[ABC]=BC\cdot AD/2。従って [ABC]≥2[AKL][ABC]\ge2[AKL] は BC≥2ADBC\ge2AD と同値である。