MathLabs

第5問

ABCABC は AA を直角とする直角三角形で、ADAD は斜辺への高さである。ABDABD と ACDACD の内心を結ぶ直線が AB,ACAB,AC とそれぞれ K,LK,L で交わるとする。SS と TT を ABCABC と AKLAKL の面積とするとき、S≥2TS\ge2T を示せ。
ステップ 4/4: 斜辺の中点を使う
前のステップ次のステップ
AM=BC2≥AD⟹BC≥2AD⟹S≥2TAM=\frac{BC}{2}\ge AD\quad\Longrightarrow\quad BC\ge2AD\quad\Longrightarrow\quad S\ge2T
詳しい解説

BC の中点を M とする。直角三角形 ADM では AM が斜辺なので AM≥ADAM\ge AD。BC=2AMBC=2AM より BC≥2ADBC\ge2AD、従って S=[ABC]≥2[AKL]=2TS=[ABC]\ge2[AKL]=2T である。等号は D=M、すなわち AB=AC のとき。