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第6問

a,ba,b を正の整数とし、ab+1ab+1 が a2+b2a^2+b^2 を割り切るとする。(a2+b2)/(ab+1)(a^2+b^2)/(ab+1) が整数の平方であることを示せ。
ステップ 1/4: 整数商を固定して最小解を選ぶ
a2+b2=k(ab+1),k=a2+b2ab+1∈Z>0a^2+b^2=k(ab+1),\qquad k=\frac{a^2+b^2}{ab+1}\in\mathbb Z_{>0}
詳しい解説

a2+b2=k(ab+1)a^2+b^2=k(ab+1) と書き、k=a2+b2ab+1∈Z>0k=\frac{a^2+b^2}{ab+1}\in\mathbb Z_{>0} とする。この k を固定し、正の整数解のうち min⁡(a,b)\min(a,b) が最小のものを選ぶ。対称性により b≤ab\le a としてよい。