第6問

a,b

を正の整数とし、

ab+1

が

a^2+b^2

を割り切るとする。

(a^2+b^2)/(ab+1)

が整数の平方であることを示せ。

ステップ 2/4: 二次方程の他方の根を使う

前のステップ次のステップ

A+C=kB,\qquad AC=B^2-k,\qquad C=kB-A=\frac{B^2-k}{A}

詳しい解説

$A^2+B^2=k(AB+1)$ を A の二次方程式とみなし、 $B=b$ と $A=a$ とする。他方の根 C は $A+C=kB$ 、 $AC=B^2-k$ を満たすので $C=kB-A=(B^2-k)/A$ 。従って C は整数であり、 $A\ge B$ と $k>0$ から $C<B$ である。