MathLabs

第1問

集合 {1,2,…,1989}\{1, 2, \ldots, 1989\} は、互いに素な 117117 個の部分集合 A1,A2,…,A117A_1, A_2, \ldots, A_{117} の和集合として表すことができ、各部分集合がちょうど 1717 個の要素を含み、各 AiA_i に含まれる要素の和がすべて等しくなることを証明せよ。
ステップ 1/5: 各ブロックの目標となる和を求める
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

19891989 個の数を、117117 枚の天秤の皿に均等に分配すべきおもりだと考えてみよう。どの数をどの皿に置くか考える前に、この計算だけで各皿がどれだけの重さになるべきかが正確にわかる。

∑i=11989i=1989×19902=1989×995,1989×995117=17×995=16915\sum_{i=1}^{1989} i = \frac{1989 \times 1990}{2} = 1989 \times 995, \qquad \frac{1989\times 995}{117} = 17 \times 995 = 16915
詳しい解説

{1,…,1989}\{1,\ldots,1989\} が、各ブロックが 1717 個の数からなる 117117 個のブロックに分かれ、それらの和が等しいなら、その共通の和は全体の和 1989×19902=1989×995\frac{1989\times1990}{2}=1989\times995 を 117117 で割ったもの、すなわち 17×995=1691517\times995=16915 でなければならない。995995 は 11 と 19891989 のちょうど平均なので、自然な目標は平均が 995995 となる十七個の数である。