国際数学オリンピック · 1989年

問題

第1問集合 $\{1, 2, \ldots, 1989\}$ は、互いに素な $117$ 個の部分集合 $A_1, A_2, \ldots, A_{117}$ の和集合として表すことができ、各部分集合がちょうど $17$ 個の要素を含み、各 $A_i$ に含まれる要素の和がすべて等しくなることを証明せよ。解答: 1
第2問鋭角三角形 $ABC$ を考える。角 $A$ の内角の二等分線は三角形 $ABC$ の外接円と再び点 $A_1$ で交わる。点 $B_1$ , $C_1$ も同様に定める。直線 $AA_1$ と角 $B$ , 角 $C$ の外角の二等分線との交点を $A_0$ とする。点 $B_0$ , $C_0$ も同様に定める。三角形 $A_0B_0C_0$ の面積が六角形 $AC_1BA_1CB_1$ の面積のちょうど2倍であり、かつ三角形 $ABC$ の面積の4倍以上であることを証明せよ。解答: 1
第3問正整数 $n$ と $k$ 、および平面上の $n$ 個の点からなる集合 $S$ を考える。ただし S のどの3点も一直線上にないものとする。 $S$ の各点 $P\in S$ に対し、 $P$ から等距離にある $S$ の点が少なくとも $k$ 個あると仮定する。 $k<\frac12+\sqrt{2n}$ を証明せよ。解答: 1
第4問凸四角形 $ABCD$ が $AB=AD+BC$ を満たすとする。四角形の内部の点 $P$ が直線 $CD$ から距離 $h$ にあり、 $AP=h+AD$ , $BP=h+BC$ を満たすとき、 $\frac1{\sqrt h}\ge\frac1{\sqrt{AD}}+\frac1{\sqrt{BC}}$ を証明せよ。解答: 1
第5問任意の正整数 $n$ に対し、素数でも素数のべきでもない正整数が $n$ 個連続して存在することを証明せよ。解答: 1
第6問集合 $\{1,2,\ldots,2n\}$ の順列 $(x_1,x_2,\ldots,x_{2n})$ が性質 $P$ を持つとは、ある $i\in\{1,\ldots,2n-1\}$ について $|x_i-x_{i+1}|=n$ となることである。任意の正整数 $n$ に対し、性質 $P$ を持つ順列の方が持たない順列より多いことを証明せよ。解答: 1