MathLabs

第1問

集合 {1,2,…,1989}\{1, 2, \ldots, 1989\} は、互いに素な 117117 個の部分集合 A1,A2,…,A117A_1, A_2, \ldots, A_{117} の和集合として表すことができ、各部分集合がちょうど 1717 個の要素を含み、各 AiA_i に含まれる要素の和がすべて等しくなることを証明せよ。
ステップ 4/5: 余った995の居場所を作る
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

余り者の 995995 は、すでに均衡の取れた一組のペアを借りてそこに収まるだけなので、全体のパターンを崩さない。

{995}∪{r0,1990−r0}sums to995+1990=2985\{995\} \cup \{r_0, 1990-r_0\} \quad\text{sums to}\quad 995 + 1990 = 2985
詳しい解説

ステップ2で未使用のペア {r0,1990−r0}\{r_0,1990-r_0\} をもう一組取り、余っていた 995995 と組み合わせて 117117 番目のブロック {995,r0,1990−r0}\{995,r_0,1990-r_0\} を作る。その和は 995+1990=2985995+1990=2985 となり、ステップ3のすべての三つ組と一致する。これで 117117 個すべてのブロックが、同じ和 29852985 を持つ 33 要素の集合となり、994994 組のうち 175175 組と数 995995 から構成されたことになる。