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第2問

鋭角三角形 ABCABC を考える。角 AA の内角の二等分線は三角形 ABCABC の外接円と再び点 A1A_1 で交わる。点 B1B_1, C1C_1 も同様に定める。直線 AA1AA_1 と角 BB, 角 CC の外角の二等分線との交点を A0A_0 とする。点 B0B_0, C0C_0 も同様に定める。三角形 A0B0C0A_0B_0C_0 の面積が六角形 AC1BA1CB1AC_1BA_1CB_1 の面積のちょうど2倍であり、かつ三角形 ABCABC の面積の4倍以上であることを証明せよ。
ステップ 2/6: 内心・傍心の中点補題を使う
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

各弧の中点は内心と対応する傍心の間の釣合い点である。

A1∈IA0,A1I=A1A0A_1\in IA_0,\qquad A_1I=A_1A_0
詳しい解説

内心を II とする。角追跡により ∠A1BI=∠A1IB=(A+B)/2\angle A_1BI=\angle A_1IB=(A+B)/2 なので A1B=A1IA_1B=A_1I であり、対称性から A1C=A1IA_1C=A_1I も得られる。外角二等分線について同様に追跡すると A1A0=A1BA_1A_0=A_1B となる。I,A1,A0I,A_1,A_0 は一直線上なので、A1A_1 は IA0IA_0 の中点である。同様に B1B_1 と C1C_1 はそれぞれ IB0IB_0 と IC0IC_0 の中点である。