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第2問

鋭角三角形 ABCABC を考える。角 AA の内角の二等分線は三角形 ABCABC の外接円と再び点 A1A_1 で交わる。点 B1B_1, C1C_1 も同様に定める。直線 AA1AA_1 と角 BB, 角 CC の外角の二等分線との交点を A0A_0 とする。点 B0B_0, C0C_0 も同様に定める。三角形 A0B0C0A_0B_0C_0 の面積が六角形 AC1BA1CB1AC_1BA_1CB_1 の面積のちょうど2倍であり、かつ三角形 ABCABC の面積の4倍以上であることを証明せよ。
ステップ 3/6: 対応する面積を2倍にする
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

第三頂点を中点から端点へ移すと高さ、したがって面積が2倍になる。

[IBA0C]=2[IBA1C],[ICB0A]=2[ICB1A],[IAC0B]=2[IAC1B][IBA_0C]=2[IBA_1C],\quad [ICB_0A]=2[ICB_1A],\quad [IAC_0B]=2[IAC_1B]
詳しい解説

A1A_1 は IA0IA_0 の中点なので、頂点 BB を固定し第三頂点を直線 IA0IA_0 上で動かす三角形の面積は II からの距離に比例する。したがって [IBA0]=2[IBA1][IBA_0]=2[IBA_1], [ICA0]=2[ICA1][ICA_0]=2[ICA_1] であり、[IBA0C]=2[IBA1C][IBA_0C]=2[IBA_1C] となる。他の2つも巡回的に同じである。