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第2問

鋭角三角形 ABCABC を考える。角 AA の内角の二等分線は三角形 ABCABC の外接円と再び点 A1A_1 で交わる。点 B1B_1, C1C_1 も同様に定める。直線 AA1AA_1 と角 BB, 角 CC の外角の二等分線との交点を A0A_0 とする。点 B0B_0, C0C_0 も同様に定める。三角形 A0B0C0A_0B_0C_0 の面積が六角形 AC1BA1CB1AC_1BA_1CB_1 の面積のちょうど2倍であり、かつ三角形 ABCABC の面積の4倍以上であることを証明せよ。
ステップ 5/6: 垂心を反射する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

反射によって垂心からの距離を外接円上の点に移せば、弧の中点が BCBC に対する最大の高さを与える。

[BCH]=[BCH1]≤[BCA1][BCH]=[BCH_1]\le[BCA_1]
詳しい解説

HH を垂心、H1H_1 を BCBC に関するその反射とする。H1H_1 は外接円上にあり、反射は BCBC までの距離を保つから [BCH]=[BCH1][BCH]=[BCH_1] である。AA を含まない弧 BCBC 上では A1A_1 が中点で弦 BCBC から最も遠いので、[BCH1]≤[BCA1][BCH_1]\le[BCA_1] となる。