MathLabs

第2問

鋭角三角形 ABCABC を考える。角 AA の内角の二等分線は三角形 ABCABC の外接円と再び点 A1A_1 で交わる。点 B1B_1, C1C_1 も同様に定める。直線 AA1AA_1 と角 BB, 角 CC の外角の二等分線との交点を A0A_0 とする。点 B0B_0, C0C_0 も同様に定める。三角形 A0B0C0A_0B_0C_0 の面積が六角形 AC1BA1CB1AC_1BA_1CB_1 の面積のちょうど2倍であり、かつ三角形 ABCABC の面積の4倍以上であることを証明せよ。
ステップ 6/6: 3つの不等式を足す
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

垂心が鋭角三角形を分割し、3つの反射による比較から六角形の面積が ABCABC の少なくとも2倍になる。

[ABC]≤[BCA1]+[CAB1]+[ABC1]=[AC1BA1CB1]−[ABC][ABC]\le[BCA_1]+[CAB_1]+[ABC_1]=[AC_1BA_1CB_1]-[ABC]
詳しい解説

ステップ5を巡回的に適用する。ABCABC は鋭角なので HH は内部にあり、[ABC]=[BCH]+[CAH]+[ABH][ABC]=[BCH]+[CAH]+[ABH] である。よって [ABC]≤[BCA1]+[CAB1]+[ABC1][ABC]\le[BCA_1]+[CAB_1]+[ABC_1]。右辺の3項は六角形から外へ出た3つの部分の面積であり、その和は [AC1BA1CB1]−[ABC][AC_1BA_1CB_1]-[ABC] である。したがって 2[ABC]≤[AC1BA1CB1]=12[A0B0C0]2[ABC]\le[AC_1BA_1CB_1]=\tfrac12[A_0B_0C_0]、ゆえに [A0B0C0]≥4[ABC][A_0B_0C_0]\ge4[ABC] となる。