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第3問

正整数 nn と kk、および平面上の nn 個の点からなる集合 SS を考える。ただし S のどの3点も一直線上にないものとする。SS の各点 P∈SP\in S に対し、PP から等距離にある SS の点が少なくとも kk 個あると仮定する。k<12+2nk<\frac12+\sqrt{2n} を証明せよ。
ステップ 4/5: 鳩の巣原理を適用する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

1本の直線上に SS の3点が乗る。

∃{A0,B0} with at least 3 points of S on its perpendicular bisector\exists\{A_0,B_0\}\text{ with at least 3 points of }S\text{ on its perpendicular bisector}
詳しい解説

平均が 22 を超えるので、あるペア {A0,B0}\{A_0,B_0\} は少なくとも3つの異なる P∈SP\in S によって証人される。これらの点 PP はすべて A0B0A_0B_0 の同じ垂直二等分線上にある。