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第4問

凸四角形 ABCDABCD が AB=AD+BCAB=AD+BC を満たすとする。四角形の内部の点 PP が直線 CDCD から距離 hh にあり、AP=h+ADAP=h+AD, BP=h+BCBP=h+BC を満たすとき、1h≥1AD+1BC\frac1{\sqrt h}\ge\frac1{\sqrt{AD}}+\frac1{\sqrt{BC}} を証明せよ。
ステップ 1/5: 最初の2円を接させる
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

距離の式は3円の接する条件そのものである。

AB=AD+BCAB=AD+BC
詳しい解説

ΓA\Gamma_A を中心 AA、半径 ADAD の円、ΓB\Gamma_B を中心 BB、半径 BCBC の円とする。AB=AD+BCAB=AD+BC なので、2円は線分 ABAB 上で外接する。さらに中心 PP、半径 hh の円 ΓP\Gamma_P を描く。AP=h+ADAP=h+AD と BP=h+BCBP=h+BC は、この円が ΓA\Gamma_A と ΓB\Gamma_B の両方に外接することを意味する。